Question

2．P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件$\overrightarrow{AP}$+2$\overrightarrow{BP}$+3$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{0}$，設(shè)Q為$\overrightarrow{CP}$延長(zhǎng)線與AB的交點(diǎn)，令$\overrightarrow{CP}$=p，用p表示$\overrightarrow{CQ}$．

Answer 1

分析 由條件根據(jù)兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，可得$\overrightarrow{AQ}$+3$\overrightarrow{QP}$+3$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{0}$．設(shè)$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{CP}$=μ$\overrightarrow{QP}$，求得（λ+2）$\overrightarrow{BQ}$+（3+3μ）$\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{0}$．再根據(jù) $\overrightarrow{BQ}$ 和$\overrightarrow{QP}$ 不共線，可得λ+2=0，3+3μ=0，求得λ和 μ的值，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{QP}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BQ}$+$\overrightarrow{QP}$，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件$\overrightarrow{AP}$+2$\overrightarrow{BP}$+3$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{QP}$）+2（ $\overrightarrow{BQ}$+$\overrightarrow{QP}$）+3$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{AQ}$+3$\overrightarrow{QP}$+3$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{0}$．
又∵A，B，Q三點(diǎn)共線，C，P，Q三點(diǎn)共線，故可設(shè)$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{CP}$=μ$\overrightarrow{QP}$，
∴λ$\overrightarrow{BQ}$+3$\overrightarrow{QP}$+2$\overrightarrow{BQ}$+3μ$\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{0}$，∴（λ+2）$\overrightarrow{BQ}$+（3+3μ）$\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{0}$．
再根據(jù) $\overrightarrow{BQ}$ 和$\overrightarrow{QP}$ 不共線，∴λ+2=0，3+3μ=0，求得λ=-2，μ=-1，∴$\overrightarrow{CP}$=-$\overrightarrow{QP}$．
結(jié)合$\overrightarrow{CP}$=p，可得$\overrightarrow{CQ}$=2$\overrightarrow{p}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查平面向量共線的條件極其應(yīng)用，兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，考查學(xué)生對(duì)問題的分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．