【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，(其中)是上的一點，且.

(1)求拋物線的方程；

(2)已知為拋物線上除頂點之外的任意一點，在點處的切線與軸交于點，過點的直線交拋物線于，兩點，設，，的斜率分別為，，，求證：，，成等比數(shù)列.

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義可得，由在拋物線列出方程，聯(lián)立解方程組即可求出；

(2) 設點，利用導數(shù)的幾何意義求出點處切線的斜率，再由點斜式可求出切線的方程，令，可得，從而可設直線的方程為，與聯(lián)立方程組消去可得，設，利用根與系數(shù)關系可得，再將用，表示并化簡可得，而，從而可證出，，成等比數(shù)列.

(1)由題意，得，解得，或，

又，所以，所以拋物線的方程為.

(2)由題意，得直線的斜率存在，且不為0.

由，得，則，設點，則切線的斜率為，

于是切線的方程為，即，所以.

設直線的方程為，代入，

消去并整理，得，

由直線交拋物線于兩點，得.

設，所以，

又,，所以，，

所以，又，

所以，故成等比數(shù)列.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設點為圓上的動點，過點作軸的垂線，垂足為，動點滿足，記點的軌跡為．

（1）求曲線的方程；

（2）已知點，斜率為的直線與曲線交于不同的兩點，，且滿足，試求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司有l000名員工，其中男性員工400名，采用分層抽樣的方法隨機抽取100名員工進行5G手機購買意向的調(diào)查，將計劃在今年購買5G手機的員工稱為“追光族”，計劃在明年及明年以后才購買5G手機的員工稱為“觀望者”調(diào)查結果發(fā)現(xiàn)抽取的這100名員工中屬于“追光族”的女性員工和男性員工各有20人.

（Ⅰ）完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關；

屬于“追光族”

屬于“觀望者”

合計

女性員工

男性員工

合計

100

（Ⅱ）已知被抽取的這l00名員工中有6名是人事部的員工，這6名中有3名屬于“追光族”現(xiàn)從這6名中隨機抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的概率．

附：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在多邊形中，四邊形為等腰梯形，，，，四邊形為直角梯形，，．以為折痕把等腰梯形折起，使得平面平面，如圖2所示．

（1）證明：平面．

（2）求直線與平面所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧（P為此圓弧的中點）和線段MN構成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上．設OC與MN所成的角為．

（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；

（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】企業(yè)為了監(jiān)控某種零件的一條流水生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量，檢驗員從該生產(chǎn)線上隨機抽取100個零件，測量其尺寸（單位：）并經(jīng)過統(tǒng)計分析，得到這100個零件的平均尺寸為10，標準差為0.5.企業(yè)規(guī)定：若，該零件為一等品，企業(yè)獲利20元；若且，該零件為二等品，企業(yè)獲利10元；否則，該零件為不合格品，企業(yè)損失40元.

（1）在某一時刻內(nèi)，依次下線10個零件，如果其中出現(xiàn)了不合格品，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查若這10個零件的尺寸分別為9.6，10.5，9.8，10.1，10.7，9.4，10.9，9.5，10，10.9，則從這一天抽檢的結果看，是否需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？

（2）將樣本的估計近似地看作總體的估計通過檢驗發(fā)現(xiàn)，該零件的尺寸服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.

（i）從下線的零件中隨機抽取20件，設其中為合格品的個數(shù)為，求的數(shù)學期望（結果保留整數(shù)）

（ii）試估計生產(chǎn)10000個零件所獲得的利潤.

附：若隨機變量服從正態(tài)分布,則，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點， 到拋物線的準線的距離為.

（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；

（II）設上兩點， 關于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校開展學生社會法治服務項目，共設置了文明交通，社區(qū)服務，環(huán)保宣傳和中國傳統(tǒng)文化宣講四個項目，現(xiàn)有該校的甲、乙、丙、丁4名學生，每名學生必須且只能選擇1項．

（1）求恰有2個項目沒有被這4名學生選擇的概率；

（2）求“環(huán)保宣傳”被這4名學生選擇的人數(shù)的分布列及其數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知F為拋物線焦點，A為拋物線C上的一動點，拋物線C在A處的切線交y軸于點B，以FA、FB為鄰邊作平行四邊形FAMB.

（1）證明：點M在一條定直線上；

（2）記點M所在定直線為l，與y軸交于點N，MF與拋物線C交于P，Q兩點，求的面積的取值范圍.

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