Question

11．若無窮等比數(shù)列{a_n}的各項和為3，則首項a₁的取值范圍為（0，3）∪（3，6）．

Answer 1

分析 依題意知|q|＜1且q≠0，由$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=3⇒q=1-$\frac{{a}_{1}}{3}$∈（-1，1），從而可求得a₁的取值范圍．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
依題意知|q|＜1且q≠0，
∴S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=3，
可得q=1-$\frac{{a}_{1}}{3}$∈（-1，1），
即-1＜$\frac{{a}_{1}}{3}$-1＜1且$\frac{{a}_{1}}{3}$-1≠0，
解得0＜a₁＜3或3＜a₁＜6．
故答案為：（0，3）∪（3，6）．

點評 本題考查數(shù)列的求和與數(shù)列的極限，求得q=1-$\frac{{a}_{1}}{3}$是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．