Question

在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，設(shè)

AP

=λ

AB

，

CQ

=λ

CB

（λ∈R），則

CP

•

AQ

的最小值為（　�。�

• A、-

  5

  2

• B、-

  5

  4

• C、-

  3

  4

• D、-

  3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：把三角形放入直角坐標(biāo)系中，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件即可求出λ的取值范圍．

解答： 解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，
∴以C為坐標(biāo)原點(diǎn)CA所在直線(xiàn)為x軸，CB所在直線(xiàn)為y軸，如圖：
C（0，0），A（1，0），B（0，1），
∵

AP

=λ

AB

，

CQ

=λ

CB

（λ∈R），∴P（1-λ，λ），Q（0，λ）；
∴

CP

=（1-λ，λ），

AQ

=（-1，λ）；
∴

CP

•

AQ

=（1-λ）•（-1）+λ•λ=λ²+λ-1=(λ+

1

2

)2-

5

4

≥-

5

4

，
當(dāng)λ=-

1

2

時(shí)，“=”成立；
∴則

CP

•

AQ

的最小值為-

5

4

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，是中檔題．