Question

P為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上的點(diǎn)，且P與F₁、F₂的連線互相垂直，求P．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)P與橢圓的兩個焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的連線互相垂直以及點(diǎn)P在橢圓上，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： 解：由題意得：橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的a=5，b=3，
∴c=4，
∴兩個焦點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
設(shè)點(diǎn)P（5cosθ，3sinθ），
則由題意得

F1P

=（5cosθ+4，3sinθ），

F2P

=（5cosθ-4，3sinθ），
∵P與F₁、F₂的連線互相垂直，
∴

F1P

•

F2P

=25cos²θ-16+9sin²θ=14cos²θ-7=0，
解得cos²θ=sin²θ=

1

2

，
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（±5

2

，±3

2

）

點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)、方程組的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．