Question

有下列命題：
①函數(shù)y=ax²+bx+c為偶函數(shù)的充要條件是b=0；
②函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（a-x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱；
③b=

ac

是a，b，c成等比的必要不充分條件；
④若函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=2處有極大值，則c的值為2或6；
⑤y=sinx+

1

sinx

（0＜x＜

π

2

）的最小值是2．
其中正確命題的序號是

 

（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡易邏輯

分析：①利用偶函數(shù)的概念及充分、必要條件的概念可判斷①；
②利用兩函數(shù)的解析式的特點(diǎn)可判斷函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（a-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱；
③利用等比數(shù)列的性質(zhì)及充分、必要條件的概念可判斷③；
④通過研究f（x）=x（x-c）²的單調(diào)性與極值，結(jié)合題意可判斷④的正誤；
⑤令t=sinx，（0＜t＜1），由雙鉤函數(shù)y=t+

1

t

的性質(zhì)可知，y=t+

1

t

在（0，1）上單調(diào)遞減，從而可知y=sinx+

1

sinx

＞2，無最小值．

解答： 解：①函數(shù)y=f（x）=ax²+bx+c為偶函數(shù)?f（-x）=a（-x）²+b（-x）+c=ax²+bx+c=f（x）?b=0，故①正確；
②函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（a-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱；
理由是：函數(shù)y=f（a+x）的自變量是x，而不是a+x；同理函數(shù)y=f（a-x）的自變量是x，而不是a-x．當(dāng)前一個(gè)函數(shù)y=f（a+x）自變量取-x時(shí)，函數(shù)值為f（a-x），因此函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（a-x）關(guān)于y軸，即x=0對稱，故②錯(cuò)誤；
③b=

ac

是a，b，c成等比的既不充分也不必要不條件，
當(dāng)a=b=c=0時(shí)，滿足0=

0•0

，但a，b，c不成等比，充分性不成立；
若a，b，c成等比，則b²=ac，b=±

ac

，必要性不成立，故③錯(cuò)誤；
④∵f（x）=x（x-c）²，∴f′（x）=（x-c）²+2x（x-c）=（x-c）（3x-c），
由f′（x）=0得x=c或x=

1

3

c，
當(dāng)c＞0時(shí)，由f′（x）＞0，得x＜

1

3

c，或x＞c，即y=f（x）在區(qū)間（-∞，

1

3

c）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（

1

3

c，c）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=

1

3

c時(shí)，取得極大值，依題意，

1

3

c=2，解得c=6；
當(dāng)c＜0時(shí)，同理可得x=c時(shí)，取得極大值，依題意，c=2，這與c＜0矛盾，故④錯(cuò)誤；
⑤∵0＜x＜

π

2

時(shí)，0＜sinx＜1，
令t=sinx，（0＜t＜1），
由雙鉤函數(shù)y=t+

1

t

的性質(zhì)可知，y=t+

1

t

在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，y=sinx+

1

sinx

＞2，無最小值，故⑤錯(cuò)誤．
綜上所述，正確命題的序號是①．
故答案為：①．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、極值與最值及充分、必要條件的概念及綜合應(yīng)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)及偶函數(shù)的概念，屬于難題．