Question

6．已知（$\frac{1}{x-1}$+b）lnx≥1對(duì)x＞0且x≠1恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 討論x＞1，lnx＞0，運(yùn)用參數(shù)分離，再令f（x）=$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{2}$（x＞1），連續(xù)求出三次導(dǎo)數(shù)，即可判斷單調(diào)性，進(jìn)而得到f（x）＜0在x＞1恒成立．可得b≥$\frac{1}{2}$；討論0＜x＜1，同理可得f（x）＞0在0＜x＜1恒成立．可得b≤$\frac{1}{2}$，進(jìn)而得到b的范圍．

解答 解：當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＞0，即有b≥$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$，
令f（x）=$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2（x-1）-（x+1）lnx}{2（x-1）lnx}$（x＞1），
令g（x）=2（x-1）-（x+1）lnx（x＞1），
g′（x）=2-lnx-$\frac{x+1}{x}$=1-lnx-$\frac{1}{x}$，
再令h（x）=1-lnx-$\frac{1}{x}$，（x＞1），
h′（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$＜0，
即有h（x）在x＞1遞減，即h（x）＜h（1）=0，
即有g(shù)′（x）＜0，即g（x）在x＞1遞減，
即有g(shù)（x）＜g（1）=0，
即有f（x）＜0在x＞1恒成立．
則$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$＜$\frac{1}{2}$在x＞1恒成立．
則有b≥$\frac{1}{2}$；
同理可得，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0恒成立，
即有$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$＞$\frac{1}{2}$在0＜x＜1恒成立．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lnx＜0，即有b≤$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$，
則有b≤$\frac{1}{2}$．
綜上可得b=$\frac{1}{2}$．
即有b的取值范圍為{$\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題，注意參數(shù)分離和分類討論的思想方法，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和最值，屬于中檔題．