Question

18．已知在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α，β，他們的終邊分別與單位圓交于A，B，A，B的橫坐標分別為$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則α+2β的值為$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求得cosα、cosβ 的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關系求得 sinα、sinβ 的值，再利用二倍角公式求得sin2β、cos2β 的值，可得α+2β∈（0，π）．利用兩角和的余弦公式求得cos（α+2β）的值，可得α+2β的值．

解答 解：由題意可得cosα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=$\frac{4}{5}$，cos2β=2cos²β-1=$\frac{3}{5}$，∴2β仍為銳角，α+2β∈（0，π）．
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=$\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{3}{5}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{4}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α+2β=$\frac{3π}{4}$．

點評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式、兩角和的余弦公式的應用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．