Question

17．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$．
（1）求A的大�。�
（2）若△ABC為銳角三角形，求函數(shù)y=2sin²B-2cosBcosC的取值范圍；
（3）現(xiàn)在給出下列三個(gè)條件：①a=1；②2c-（$\sqrt{3}$+1）b=0；③B=45°，試從中再選擇兩個(gè)條件，以確定△ABC，求出所確定的△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切化弦、兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知的式子，由特殊角的三角函數(shù)值求出A；
（2）由（1）和內(nèi)角和定理表示出C，代入解析式利用二倍角公式，兩角和與差和公式化簡(jiǎn)，根據(jù)銳角三角形列出不等式組求出B的范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域；
（3）方案一：選擇①②，由條件和余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面積公式求解即可；
方案二：選擇①③，由內(nèi)角和定理和正弦定理分別求出C、c，入三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）由題意得，1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$，
由正弦定理得，1+$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{sinB}$，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）因?yàn)锳+B+C=π，A=$\frac{π}{3}$，所以B+C=$\frac{2π}{3}$，
則y=2sin²B-2cosBcosC=1-cos2B-2sinBcos（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{3}{2}$-sin（2B+$\frac{π}{6}$）
又△ABC為銳角三角形，則$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{2}$＜2B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，所以sin（2B+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1），
所以y∈（$\frac{1}{2}$，2）；
（3）方案一：選擇①②，可確定△A BC，
因?yàn)锳=60°，a=1，2c-（$\sqrt{3}$+1）b=0，
由余弦定理得：$1=^{2}+（\frac{\sqrt{3}+1}{2}b）^{2}-2b•\frac{\sqrt{3}+1}{2}b•\frac{1}{2}$，
整理得：b²=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，c=$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{6}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{6}}{3}•\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{6}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+3}{12}$
方案二：選擇①③，可確定△A BC，
因?yàn)?A=60°，B=45°，則C=75°，
由正弦定理b=$\frac{1•sin45°}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}•1•\frac{\sqrt{6}}{3}•\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+3}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，兩角和與差的公式、二倍角公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，注意銳角角的范圍，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．