Question

15．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-x-1在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
• B． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
• C． （-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{3}$）∩（$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，因為函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=-x³+ax²-x-1的導數(shù)為f′（x）=-3x²+2ax-1，
∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+2ax-1≤0恒成立，
∴△=4a²-12≤0，
解得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$
∴實數(shù)a的取值范圍是$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關系，以及恒成立問題的解法，利用導數(shù)是解決本題的關鍵．