Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+ax的圖象經(jīng)過點P（2，4）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式及其導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)f（x）=2x³+ax的圖象經(jīng)過點P（2，4），代入計算求f（x）的表達式及其導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值與端點函數(shù)值比較，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2x³+ax的圖象經(jīng)過點P（2，4），
∴16+2a=4，
∴a=-6，
∴f（x）=2x³-6x，
∴f′（x）=6x²-6；
（Ⅱ）f′（x）=6x²-6=0，可得x=±1；
∴函數(shù)在（-2，-1），（1，2）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，
∵f（-2）=-4，f（-1）=4，f（1）=-4，f（2）=4，
∴f（x）在閉區(qū)間[-2，2]上的最大值為4、最小值為-4．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．