Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x

3

+a

x

2

+bx．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)以a²-b取最大值時(shí)，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若a=-1，在曲線y=f（x）上是否存在唯一的點(diǎn)P，使曲線在點(diǎn)P處的切線l與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)的極值點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)方程的根，由求根公式得，轉(zhuǎn)化求出a，b的值；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，由f（x）和切線方程構(gòu)造新的函數(shù)g（x），說明x=x₀是函數(shù)g（x）的唯一零點(diǎn)就行，即是g′（x）的唯一極值點(diǎn)，且在兩側(cè)單調(diào)．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（x）=x²+2ax+b=0在[-1，1），（1，3]內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，
設(shè)兩個(gè)實(shí)根為x₁，x₂（x₁＜x₂），則x₂-x₁=2

a2-b

，且0＜x₂-x₁≤4，于是
0＜2

a2-b

≤4，0＜a²-b≤4，且當(dāng)x₁=-1，x₂=-3時(shí)等號(hào)成立，
故a²-b取得最大值是4，此時(shí)f（x）=

1

3

x3-x2-3x；
（2）假如存在點(diǎn)p（x₀，y₀）符合條件，
則由f′（x）=x²-2x+b知f（x）在點(diǎn)P處切線l的方程是
y-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀），即y=（x02-2x0+b）x-

2

3

x03+x 02
令g（x）=f（x）-[（x02-2x0+b）x-

2

3

x03+x 02]=

1

3

x3-x2-（x 02-2x₀）x+

2

3

x03-x 02，則g（x₀）=0
由題設(shè)知，g（x）=f（x）-[（x02-2x0+b）x-

2

3

x03+x 02]存在唯一零點(diǎn)x₀，且在x=x₀兩邊附近的函數(shù)值導(dǎo)號(hào)，
則x=x₀一定不是g（x）的極值點(diǎn)，又g′（x）=x2-2x-x02+2x0=（x-x₀）（x+x₀-2）．
若x₀≠2-x₀，則易知x=x₀，和x=2-x₀都是g（x）的極值點(diǎn)，不合題意；
若x₀=2-x₀，即x₀=1時(shí)，又g′（x）=x2-2x-x02+2x0=（x-x₀）（x+x₀-2）=（x-1）²≥0，
此時(shí)函數(shù)g（x）=

1

3

x3-x2-(x02-2x0)x+

2

3

x03-x02=

1

3

x3-x2+x-

1

3

=

1

3

(x-1)3單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0；當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）＜0，故函數(shù)g（x）有唯一零點(diǎn)x=1，且在x=1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，
故在曲線y=f（x）上存在唯一的點(diǎn)P（1，f（1）），使曲線在點(diǎn)P處的切線l與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的極值，零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，屬于難題．