Question

已知兩圓M：x²+y²=10和N：x²+y²+2x+2y-14=0．
（1）求兩圓的公共弦所在的直線方程；
（2）求過兩圓交點且圓心在x+2y-3=0上的圓的方程．

Answer 1

考點：相交弦所在直線的方程,圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）通過兩個圓的方程作差，即可得到兩圓的公共弦所在的直線方程；
（2）利用圓系方程求出圓心坐標，圓心在x+2y-3=0上，代入求解，即可得到圓的方程．

解答： 解：（1）兩圓M：x²+y²=10和N：x²+y²+2x+2y-14=0．兩個方程作差可得：2x+2y-4=0，即x+y-2=0．
所以兩圓的公共弦所在的直線方程x+y-2=0；
（2）設所求的圓的方程為：x²+y²+2x+2y-14+λ（x²+y²-10）=0，
即（1+λ）x²+（1+λ）y²+2x+2y-14-10λ=0，即x²+y²+

2

1+λ

x+

2

1+λ

y-

14+10λ

1+λ

=0，
圓的圓心（-

1

1+λ

，-

1

1+λ

），
圓心在x+2y-3=0上，
可得-

1

1+λ

-

3

1+λ

-3=0，解得：λ=-2．
所求圓的方程為：x²+y²+2x+2y-14-2（x²+y²-10）=0，
即x²+y²-2x-2y-6=0．

點評：本題求經過兩圓交點，并且圓心在定直線的圓的方程．著重考查了直線的方程、圓的方程和圓與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．