Question

16．在平面直角坐標系中，以（0，-1）為圓心且與直線ax+y+$\sqrt{2{a^2}+2a+2}$+1=0（a∈R）相切的所有圓中，最大圓面積與最小圓面積的差為2π．

Answer 1

分析 圓半徑r=$\sqrt{2+\frac{2a}{{a}^{2}+1}}$，a=-1時，r_min=$\sqrt{2-1}$=1，a=1時，r_max=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，由此能求出最大圓面積與最小圓面積的差．

解答 解：∵圓以（0，-1）為圓心且與直線ax+y+$\sqrt{2{a^2}+2a+2}$+1=0（a∈R）相切，
∴圓半徑r=$\frac{|\sqrt{2{a}^{2}+2a+2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{2{a}^{2}+2a+2}{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{2+\frac{2a}{{a}^{2}+1}}$，
∴a=-1時，r_min=$\sqrt{2-1}$=1，最小圓面積S_min=π×1²=π，
a=1時，r_max=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，最大圓面積S_max=$π×（\sqrt{3}）^{2}$=3π，
∴最大圓面積與最小圓面積的差為：3π-π=2π．
故答案為：2π．

點評 本題考查以定點為圓心與定直線相切的所有圓中，最大圓面積與最小圓面積的差的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質、點到直線的距離公式的合理運用．