Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且AB=AC=1，AD=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）設(shè)直線AC與平面PBC所成角為α，當(dāng)α在$（0，\frac{π}{6}）$內(nèi)變化時(shí)，求二面角P-BC-A的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點(diǎn)Q，連接NQ、CQ，通過中位線定理可得四邊形CQNM為平行四邊形，利用線面平行的判定定理可得結(jié)論；
（Ⅱ）連接PM，易得∠PMA即為二面角P-BC-A的平面角，過點(diǎn)A在平面PAM內(nèi)作AH⊥PM于H，連接CH，比較∠ACH就是直線AC與平面PBC所成的角α與∠AMH的關(guān)系計(jì)算即可得出答案．

解答 （Ⅰ）證明：取PD中點(diǎn)Q，連接NQ、CQ，
因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，
所以NQ∥AD∥CM，$NQ=\frac{1}{2}AD=CM$，
∴四邊形CQNM為平行四邊形，∴MN∥CQ，
又MN?平面PCD，CQ⊆平面PCD，
所以MN∥平面PCD；
（Ⅱ）解：連接PM，∵AB=AC=1，點(diǎn)M分別為BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PM⊥BC，
∴∠PMA即為二面角P-BC-A的平面角，記為φ，
又AM∩PM=M，所以BC⊥平面PAM，則平面PBC⊥平面PAM，
過點(diǎn)A在平面PAM內(nèi)作AH⊥PM于H，則AH⊥平面PBC．
連接CH，于是∠ACH就是直線AC與平面PBC所成的角α．
在Rt△AHM中，$AH=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin∠AMH$；
又∵在Rt△AHC中，AH=sinα，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin∠AMH=sinα$．
∵$0＜α＜\frac{π}{6}$，
∴$0＜sinθ＜\frac{1}{2}$，$0＜sin∠AMH＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
又$0＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$0＜φ＜\frac{π}{4}$．
即二面角P-BC-A取值范圍為$（{0，\frac{π}{4}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查中位線定理，線面平行的判定定理，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．