Question

19．已知，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且EF過點(diǎn)I，AE=AF，BE=4，CF=3，則EF的長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接AI，BI，CI，設(shè)EF=2x，確定$∠CIF=\frac{B}{2}$，$∠BIC=\frac{C}{2}$．設(shè)$\frac{B}{2}$=α，$\frac{C}{2}$=β，在△CIF、△BIE中，利用正弦定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：連接AI，BI，CI，設(shè)EF=2x，
因?yàn)锳E=AF，所以FI=EI=x，∠AIF=90°，
在△AIC中，$\frac{A}{2}+\frac{C}{2}+90°+∠CIF$=180°，$∠CIF=\frac{B}{2}$，
同理，在△AIB中，$∠BIC=\frac{C}{2}$．
設(shè)$\frac{B}{2}$=α，$\frac{C}{2}$=β，
在△CIF中，由正弦定理可得$\frac{x}{sinβ}=\frac{CF}{sinα}=\frac{3}{sinα}$①
在△BIE中，由正弦定理可得$\frac{x}{sinα}=\frac{BE}{sinβ}=\frac{4}{sinβ}$②
①×②得$\frac{{x}^{2}}{sinαsinβ}=\frac{3×4}{sinαsinβ}$，
∴x=2$\sqrt{3}$，
∴EF=4$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形，考查正弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．