Question

18．如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，BC∥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，M，N分別是SB，SC的中點．
（Ⅰ）求證：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）設(shè)平面SCD與平面SAB所成二面角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出四邊形ADNM是平行四邊形，從而AM∥ND，由此能證明AM∥平面SCD．
（Ⅱ）以點A為原點，AD，AB，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵M，N分別是SB，SC的中點，
∴MN∥BC，且MN=$\frac{1}{2}BC$，
又∵AD∥BC，且AD=$\frac{1}{2}$BC，∴MN∥AD，且MN=AD，
∴四邊形ADNM是平行四邊形，∴AM∥ND，
又∵AM?平面SCD，ND?平面SCD，
∴AM∥平面SCD．
解：（Ⅱ）以點A為原點，AD，AB，AS所在直線分別為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2），
∴$\overrightarrow{SD}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{CD}$=（-1，-2，0），
設(shè)平面SCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{n}=x-2z=0}\\{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}=-x-2y=0}\end{array}\right.$，取z=1，則$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
平面SAB的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}×1}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
又平面SCD與平面SAB所成二面角θ為銳角，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．