Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=$\frac{3}{4}$．求：
（Ⅰ）△ABC的面積；
（Ⅱ）sinA的值．

Answer 1

分析 （I）在△ABC中，cosC=$\frac{3}{4}$．k可得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC即可得出．
（II）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，解得c．由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，可得sinA．

解答 解：（I）∵在△ABC中，cosC=$\frac{3}{4}$．
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
（II）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=1+4-3=2，∴c=$\sqrt{2}$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，可得sinA=$\frac{1×\frac{\sqrt{7}}{4}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{8}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數基本關系式、三角形內角和定理，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．