Question

給出下列四個(gè)命題：
①已知a，b，m都是正數(shù)，且

a+m

b+m

＞

a

b

，則a＜b；
②若函數(shù)f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＜1}，則a＜-1；
③已知x∈（0，π），則y=sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

；
④已知a、b、c成等比數(shù)列，a、x、b成等差數(shù)列，b、y、c也成等差數(shù)列，則

a

x

+

c

y

的值等于2；
⑤已知函數(shù)f（x）=e^x-1，g（x）=-x²+4x-3，若有f（a）=g（b），則b的取值范圍為（2-

2

，2+

2

）．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①利用不等式的性質(zhì)即可得出；
②取a=-2即可判斷出；
③換元利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
④先求出函數(shù)f（x）的值域，由f（a）=g（b），可知兩個(gè)函數(shù)的值域相同，即可得出．

解答： 解：對(duì)于①，由且

a+m

b+m

＞

a

b

，又a，b，m都是正數(shù)，∴b（a+m）-a（b+m）=m（b-a）＞0，∴b-a＞0，即a＜b．故①正確；
對(duì)于②，令a=-2，此時(shí)函數(shù)f（x）=lg（-2x+1）的定義域是{x|x＜

1

2

}，不是{x|x＜1}，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，設(shè)sinx=t∈[0，1]，則y=t+

2

t

，∵函數(shù)y=t+

2

t

在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，
∴此函數(shù)的最小值是f（1）=3，即y=sinx+

2

sinx

的最小值為3，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由題意，b²=ac，2x=a+b，2y=b+c，∴

a

x

+

c

y

=

2a

a+b

+

2c

b+c

=

4ac+2ab+2bc

ab+ac+b2+bc

=

4ac+2ab+2bc

2ac+ab+bc

=2，故④正確；
對(duì)于⑤，由題意，f（x）=e^x-1＞-1，
若有f（a）=g（b），則g（b）=-b²+4b-3＞-1，解得2-

2

＜b＜2+

2

．故⑤正確．
綜上可知：只有①④⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性值域、一元二次不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．