Question

如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖①；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖②；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），在圖形變化過(guò)程中，圖①中線段AM的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于圖③中的弧ADM的長(zhǎng)度，如圖③．圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．
給出下列命題：
①f（

1

4

）=1；
②f（x）在定義域（0，1）上單調(diào)遞增；
③f（x）為偶函數(shù)； ④f（x）=-f（1-x）；
⑤關(guān)于m的不等式|f（m）|≤1的解集為[

1

4

，1]．
則所有正確的命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①m=

1

4

時(shí)，點(diǎn)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，求出直線AM的方程得出N的橫坐標(biāo)；
②由圖3知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得出函數(shù)值的變化情況和單調(diào)性；
③由函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱來(lái)判定命題的正誤；
④由圖3中圓關(guān)于Y軸的對(duì)稱性以及f（x）=-f（1-x），判定f（x）圖象的對(duì)稱性；
⑤由f（m）的值是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（

1

4

）=-1，求出不等式|f（m）|≤1的解集．

解答： 解：①當(dāng)m=

1

4

時(shí)，M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)（-

1

2π

，1-

1

2π

）上，
此時(shí)直線AM的方程為y=x+1，直線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1，
∴f（

1

4

）=-1；
∴命題①錯(cuò)誤；
②由圖3知，當(dāng)m由0增大到1時(shí)，點(diǎn)M由A運(yùn)動(dòng)到B，
此時(shí)N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動(dòng)，
由此可知，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大，
∴f（x）在定義域（0，1）上是增函數(shù)；
∴命題②正確；
③∵f（x）的定義域是（0，1），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（x）是非奇非偶的函數(shù)；
∴命題③錯(cuò)誤；
④∵f（x）=-f（1-x），
∴f（x+

1

2

）=-f（1-x-

1

2

）
f（

1

2

+x）=-f（

1

2

-x）
∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對(duì)稱；
由圖3知，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置時(shí)，N點(diǎn)關(guān)于Y軸對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)值互為相反數(shù)，
即f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對(duì)稱；
∴命題④正確；
⑤由題意，f（m）的值是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，
且m=

1

4

時(shí)，f（m）=-1，
∴m=

3

4

時(shí)，f（m）=1，
∴不等式|f（m）|≤1的解集為[

1

4

，

3

4

]；
∴命題⑤錯(cuò)誤；
所以，以上命題正確的是②④；
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了映射的概念，解題的關(guān)鍵是理解題設(shè)中所給的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正確認(rèn)識(shí)三個(gè)圖象的意義，并對(duì)題中命題判斷正誤，是考查理解能力的問(wèn)題；解題時(shí)應(yīng)對(duì)題設(shè)中所給的關(guān)系進(jìn)行探究，從而得出正確答案．