Question

8．設(shè)函數(shù)p（x）=log₃x，q（x）=2^x．
（1）若f（q（x））=p（q（5x）），求f（x）的解析式及f（5^-2013）+f（5^-2012）+f（5^-2011）+…+f（5²⁰¹²）+f（5²⁰¹³）值；
（2）若g（x）=p（q（2x）+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)，且方程g（x）-m=0有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的解析式即可．求出f（5^-x）+f（5^x）的值，即可求解所求表達(dá)式的值．
（2）要使方程g（x）-m=0有解，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域，將m分離出來(lái)，利用基本不等式，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)p（x）=log₃x，q（x）=2^x．
若f（q（x））=p（q（5x）），
可得：f（q（x））=log₃q（5x）=log₃2^5x=5log₃2^x=5log₃q（x）．
f（x）的解析式：f（x）=5log₃x．
f（5^-x）+f（5^x）=5log₃5^-x+5log₃5^x=5log₃（5^-x•5^x）=0．
f（5^-2013）+f（5^-2012）+f（5^-2011）+…+f（5²⁰¹²）+f（5²⁰¹³）
=0；
（2）由函數(shù)p（x）=log₃x，q（x）=2^x．
g（x）=p（q（2x）+1）+kx=log₃（2^2x+1）+kx，
（k∈R）是偶函數(shù)，可得：log₃（2^-2x+1）-kx=log₃（2^2x+1）+kx，
解得k=-log₃2．
∴g（x）-m=0等價(jià)于m=log₃（2^2x+1）-log₃2^x=log₃（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）≥log₃2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=log₃2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)．
∴要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范圍為m≥log₃2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，偶函數(shù)，其中根據(jù)偶函數(shù)的定義求出k值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式，是解答的關(guān)鍵．