Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+1．
（1）若f（x）在區(qū)間（-2，-1）上恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（2^x）有兩個零點，且一個零點大于1，一個零點小于1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，檢驗不滿足條件，可得a≠0；由△＞0，由條件利用函數(shù)零點的判定定理可得f（-2）f（-1）=（6a+5）•（-1）＜0，由此求得a的范圍．
（2）由題意可得f（1）=4a-2a-4+1＜0，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=-2x+1，不滿足在區(qū)間（-2，-1）上恰有一個零點．
∴a≠0，∵△=（-a-2）²-4a=a²+4＞0，此時，若f（x）在區(qū)間（-2，-1）上恰有一個零點，
則f（-2）f（-1）=（6a+5）•（-1）＜0，求得a＞-$\frac{5}{6}$，且a≠0．
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為{a|a＞-$\frac{5}{6}$，且a≠0 }．
（2）若函數(shù)y=f（2^x）=a•2^2x-（a+2）•2^x+1 有兩個零點，且一個零點大于1，一個零點小于1，
則f（1）=4a-2a-4+1＜0，求得a＜$\frac{3}{2}$，
故要求的實數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點的判定定理，屬于中檔題．