Question

10．如圖，在底面半徑為2、母線長為4的圓錐中挖去一個高為$\sqrt{3}$的內接圓柱；
（1）求圓柱的表面積；
（2）求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）利用S_表面積=2S_底+S_側，求圓柱的表面積；
（2）求出三棱錐、圓柱的體積，即可求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的體積．

解答 解：設圓錐、圓柱的底面半徑分別為R、r，高分別為h、h′．
（1）圓錐的高h=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
又∵h′=$\sqrt{3}$，
∴h′=$\frac{1}{2}$h．∴$\frac{r}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$，∴r=1．
∴S_表面積=2S_底+S_側=2πr²+2πrh′
=2π+2π×$\sqrt{3}$=2（1+$\sqrt{3}$）π．…（6分）
（2）所求體積$V={V_{三棱錐}}-{V_{圓柱}}=\frac{1}{3}π{R^2}•h-π{r^2}•h'=\frac{1}{3}π•{2^2}×2\sqrt{3}-π•{1^2}×\sqrt{3}$=$\frac{5}{3}\sqrt{3}π$…（12分）

點評 本題考查圓柱的表面積、三棱錐、圓柱的體積，考查學生的計算能力，比較基礎．