Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=g（x）的圖象和y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，求g（x）在[$\frac{π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]上最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由周期公式即可得解．
（2）在y=g（x）上任取一點，據(jù)對稱行求出其對稱點，利用對稱點在y=f（x）上，求出g（x）的解析式，求出整體角的范圍，據(jù)三角函數(shù)的有界性求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+2cos²x-1
=sin2x+1+cos2x-1
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴由周期公式可得：函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵函數(shù)y=g（x）的圖象和y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，
∴在y=g（x）的圖象上任取一點（x，g（x）），它關(guān)于x=$\frac{π}{3}$的對稱點（$\frac{2π}{3}$-x，g（x））．
由題設(shè)條件，點（$\frac{2π}{3}$-x，g（x））在y=f（x）的圖象上，
從而g（x）=f（$\frac{2π}{3}$-x）=$\sqrt{2}$sin[2（$\frac{2π}{3}$-x）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{7π}{12}$）
當x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]時，2x-$\frac{7π}{12}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]時，
因此y=g（x）在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]上的最大值為gmax=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{2}$=$\sqrt{2}$．
最大值為gmin=$\sqrt{2}$sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題主要考查了利用三角函數(shù)恒等變換化簡三角函數(shù)、利用軸對稱性求函數(shù)的解析式、利用整體角處理的思想求出最值等知識的應(yīng)用，屬于中檔題．