Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=r（r＞0），令b_n=a_n•a_n+1，{b_n}是公比為q（q≠0，q≠-1）的等比數(shù)列，設(shè)c_n=a_2n-1+a_2n．
（1）求證：c_n=（1+r）•q^n-1；
（2）設(shè){c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$的值；
（3）設(shè){c_n}前n項(xiàng)積為T_n，當(dāng)q=-$\frac{1}{2}$時(shí)，T_n的最大值在n=8和n=9的時(shí)候取到，求n為何值時(shí)，T_n取到最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=q（n≥2），判斷出奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可．
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式得出q=1時(shí)，S_n=（1+r）n，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=0，q≠1時(shí)，S_n=$\frac{（1+r）（1-{q}^{n}）}{1-q}$，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\frac{1-q}{（1+r）（1-{q}^{n}）}$，分類討論求解即可
（3）利用條件得出（1+r）⁸（-$\frac{1}{2}$）²⁸=（1+r）⁹（-$\frac{1}{2}$）³⁶，r=2⁸-1=255，
T_n=（256）ⁿ•（-2）${\;}^{\frac{n（1-n）}{2}}$=（-1）${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$•2，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出最小項(xiàng)，注意符號即可．

解答 解：（1）b_n=a_n•a_n+1，{b_n}是公比為q（q≠0，q≠-1）的等比數(shù)列，
因?yàn)閿?shù)列{a_na_n+1}是一個(gè)以q（q≠0，q≠-1））為公比的等比數(shù)列
因此$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=q，所以$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=q（n≥2），
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=q（n≥2），
∴奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列
∵設(shè)c_n=a_2n-1+a_2n．
∴c_n=1•q^n-1+r•q^n-1=（1+r）•q^n-1
∴bn=（1+r）•qn-1
（2）q=1時(shí)，S_n=（1+r）n，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=0
q≠1時(shí)，S_n=$\frac{（1+r）（1-{q}^{n}）}{1-q}$，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\frac{1-q}{（1+r）（1-{q}^{n}）}$
若q＞1，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\frac{1-q}{1+r}$
q＜-1時(shí)，時(shí)極限不存在．
若0＜q＜1或-1＜q＜0時(shí)，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=0
∴$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\left\{\begin{array}{l}{0，-1＜q＜0或0＜q＜1}\\{\frac{1-q}{1+r}，q＞1或q＜-1}\end{array}\right.$
（3）設(shè){c_n}前n項(xiàng)積為T_n，當(dāng)q=-$\frac{1}{2}$時(shí)，T_n=（1+r）ⁿ$•{q}^{\frac{n（n-1）}{2}}$
∵T_n的最大值在n=8和n=9的時(shí)候取到，
∴（1+r）⁸（-$\frac{1}{2}$）²⁸=（1+r）⁹（-$\frac{1}{2}$）³⁶，r=2⁸-1=255，
∴T_n=（256）ⁿ•（-2）${\;}^{\frac{n（1-n）}{2}}$=（-1）${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$•2${\;}^{\frac{17n-{n}^{2}}{2}}$，
根據(jù)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)得出n=7，n=10時(shí)，T_n的最小值為-2³⁵．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式，等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，數(shù)列極限的求解，要注意等比數(shù)列求和公式應(yīng)用時(shí)對公比q的討論，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解析式確定最值．