Question

5．在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，延長線段DP到Q，使得|DP|=|PQ|，
（Ⅰ）求點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）直線y=k（x+4）-1與點Q的軌跡有兩個不同交點A、B，若|AB|≥2$\sqrt{3}$，求斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）設P（x₁，y₁），Q（x，y），由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，而點P在曲線橢圓上，代入化簡即可得出；
（II）弦長|AB|≥$2\sqrt{3}$，利用弦長公式可得圓心（0，0）到直線的距離d≤1，利用點到直線的距離公式即可得出．

解答 20．解：（Ⅰ）設P（x₁，y₁），Q（x，y），
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
而點P在曲線橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1上，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}$=1，
故有$\frac{{x}^{2}}{4}+（\frac{y}{2}）^{2}=1$．
化為x²+y²=4，
所以點Q的軌跡方程：x²+y²=4．
（Ⅱ）∵弦長|AB|≥$2\sqrt{3}$，
∴圓心（0，0）到直線的距離d≤$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1．
∴d=$\frac{|4k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
∴$0≤k≤\frac{8}{15}$．

點評 本題考查了“代點法”、弦長公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．