Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx（a∈R）
（Ⅰ）若a＞0，討論函數(shù)f（x）的極值
（Ⅱ）若對(duì)于任意a∈（3，5）及任意x₁，x₂∈[1，3]，恒有ma³-aln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)a=1時(shí)，②當(dāng)a＞1時(shí)，③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性，即可得到極值；
（Ⅱ）確定f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，可得f（x）的最大值與最小值，進(jìn)而利用分離參數(shù)法，可得m＞$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{a}^{3}}$，令g（a）=$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{a}^{3}}$，判斷單調(diào)性，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=x-（a+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，
①當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）遞增，無極值；
②當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)x＞a或0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，1），（a，+∞）遞增，
當(dāng)1＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，a）遞減，
即有f（x）在x=1處取得極大值-a-$\frac{1}{2}$，在x=a處取得極小值-a-$\frac{1}{2}$a²+alna；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)x＞1或0＜x＜a時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，a），（1，+∞）遞增，
當(dāng)a＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（a，1）遞減，
即有f（x）在x=1處取得極小值-a-$\frac{1}{2}$，在x=a處取得極大值-a-$\frac{1}{2}$a²+alna．
（Ⅱ）當(dāng)a∈（3，5）時(shí)，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最大值，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有最小值．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（3）=-4+2（a+1）-aln3，
∴ma³-aln3＞-4+2（a+1）-aln3，
而a＞0經(jīng)整理得m＞$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{a}^{3}}$，令g（a）=$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{a}^{3}}$，g′（a）=$\frac{6-4a}{{a}^{4}}$，
由3＜a＜5得，g′（a）＜0，g（a）在（3，5）遞減，
所以m≥g（3）=$\frac{4}{27}$．
即有m的取值范圍是[$\frac{4}{27}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的最值，利用分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍．