Question

14．已知函數(shù)f（x）=2ax+$\frac{2a-1}{x}$+lnx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意對函數(shù)求導，然后利用極值的概念，建立方程，求出a，再求解f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（II）由題意對函數(shù)求導，利用函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，可得$\frac{1-2a}{2a}≥$0，即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2ax+$\frac{2a-1}{x}$+lnx，
∴f′（x）=2a-$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∵f（x）在x=2處取得極值，
∴f′（2）=2a-$\frac{2a-1}{4}$+$\frac{1}{2}$=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴f′（x）=$\frac{-（x+1）（x-2）}{{x}^{2}}$
由f′（x）＞0，結(jié)合函數(shù)的定義域，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）；
（Ⅱ）f′（x）=2a-$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+1）（2ax+1-2a）}{{x}^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
∴$\frac{1-2a}{2a}≥$0，
∴0≤a≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的求導及極值的概念，還考查了求其單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．