Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，2），B（-2，0），C（1，0），分別以△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABEF與ACGH，
（I）求直線(xiàn)FH的一般式方程；
（II）過(guò)直線(xiàn)FH上任意一點(diǎn)P作圓x²+y²=1的切線(xiàn)，當(dāng)切線(xiàn)長(zhǎng)最短時(shí)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（III）過(guò)點(diǎn)（6，2）作圓x²+y²=1的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，N，求直線(xiàn)MN的一般式方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F（x，y），列方程求出F，H的坐標(biāo)，得出FH的方程；
（2）過(guò)圓心O向直線(xiàn)FH作垂線(xiàn)，垂足即為P點(diǎn)；
（3）設(shè)M（x，y），R（6，2），根據(jù)OM⊥RM，列方程化簡(jiǎn)即可得出MN的方程．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（0，2），B（-2，0），C（1，0），
∴k_AB=1，k_AC=-2，AB=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{5}$，
∴k_AF=-1，k_AH=$\frac{1}{2}$，
設(shè)F（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-2}{x}=-1}\\{\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴F（-2，4），同理可得H（2，3），
∴直線(xiàn)FH的方程為$\frac{y-3}{4-3}=\frac{x-2}{-2-2}$，化簡(jiǎn)得x+4y-14=0．
（2）設(shè)切點(diǎn)為Q，則OQ⊥PM，由勾股定理可得OP²=OQ²+PQ²，
∴當(dāng)OP最小時(shí)，切線(xiàn)長(zhǎng)PQ取得最小值．
當(dāng)OP取得最小值時(shí)，OP⊥FH，設(shè)P（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=4}\\{x+4y-14=0}\end{array}\right.$，解得$P（\frac{14}{17}，\frac{56}{17}）$．
（3）設(shè)M（x，y），R（6，2），則k_RM•k_OM=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{\frac{y-2}{x-6}•\frac{y}{x}=-1}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)得：6x+2y-1=0．
∴直線(xiàn)MN的一般式方程為6x+2y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)方程，屬于中檔題．