Question

已知：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n²-S_n-1²=3n²a_n，a₁=2，a_n≠0，n=2，3，4，…．
（1）設(shè)c_n=a_n+a_n+1，求c₁、c₂，并判斷數(shù)列{c_n}是否為等差數(shù)列，說明理由；
（2）求數(shù)列{（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1}的前2k+1項(xiàng)的和T_2k+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把已知數(shù)列遞推式中的a_n換為a_n=S_n-S_n-1≠0，得S_n+S_n-1=3n²，取n=n+1后得另一遞推式，作差后得到c_n=a_n+a_n+1=6n+3，分別求得c₁、c₂，
再求得c₃后由c₂-c₁≠c₃-c₂判斷數(shù)列{c_n}不是等差數(shù)列；
（2）由（1）中的S_n+S_n-1=3n²推得數(shù)列{a_2n}是首項(xiàng)為a₂=8，公差為6的等差數(shù)列．?dāng)?shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)為a₃=7，公差為6的等差數(shù)列．把T_2k+1=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+a₅a₆-…-a_2ka_2k+1+a_2k+1a_2k+2因式分解后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求和得答案．

解答： 解：（1）由已知S_n²-S_n-1²=3n²a_n，得
(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n2an．
∵a_n=S_n-S_n-1≠0，
∴S_n+S_n-1=3n² （n≥2）①，
于是S_n+1+S_n=3（n+1）² ②，
由②-①得a_n+1+a_n=6n+3，
即c_n=a_n+a_n+1=6n+3．
∵a₁=2，代入S_n²-S_n-1²=3n²a_n，得a₂=8．
c₁=a₁+a₂=10．
由①得，S₃+S₂=27，即2a₁+2a₂+a₃=27，解得a₃=7．
c₂=a₂+a₃=15．
由①得：Sn+1+Sn=3(n+1)2  ③，
③-①得：a_n+1+a_n=6n+3（n≥2）．
∴c_n=6n+3（n≥2）．
∵c₂-c₁=5，c₃-c₂=6，c₂-c₁≠c₃-c₂．
∴數(shù)列{c_n}不是等差數(shù)列；
（2）由a_n+1+a_n=6n+3（n≥2）．
得a_n+2+a_n+1=6n+9（n≥2）．
兩式作差得：a_n+2-a_n=6（n≥2）．
∴數(shù)列{a_2n}是首項(xiàng)為a₂=8，公差為6的等差數(shù)列．
數(shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)為a₃=7，公差為6的等差數(shù)列．
∴T_2k+1=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+a₅a₆-…-a_2ka_2k+1+a_2k+1a_2k+2
=a₁a₂+（a₄-a₂）a₃+（a₆-a₄）a₅+…+（a_2k+2-a_2k）a_2k+1
=16+6a₃+6a₅+…+6a_2k+1
=16+6[7k+

1

2

k(k-1)×6]
=18k²+24k+6．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系額確定，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，是數(shù)列部分難度較大的題目．