【題目】電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖:

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
(1)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?

非體育迷

體育迷

合計(jì)

10

55

合計(jì)


(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X)

P( K2≥k)

0.05

0.01

k

3.841

6.635

【答案】
(1)解:由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而2×2列聯(lián)表如下:

非體育迷

體育迷

合計(jì)

30

15

45

45

10

55

合計(jì)

75

25

100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得:

K2= = ≈3.03,

因?yàn)?.03<3.841,所以沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).


(2)解:由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率是0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取到一名“體育迷”的概率是 ,

由題意X∽B(3, ),從而分布列為

X

0

1

2

3

P

所以E(X)=np=3× = .D(X)=npq=3× × =


【解析】(1)根據(jù)所給的頻率分布直方圖得出數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表,再代入公式計(jì)算得出K2 , 與3.841比較即可得出結(jié)論;(2)由題意,用頻率代替概率可得出從觀眾中抽取到一名“體育迷”的概率是 ,由于X∽B(3, ),從而給出分布列,再由公式計(jì)算出期望與方差即可
【考點(diǎn)精析】利用頻率分布直方圖對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知頻率分布表頻率分布直方圖,是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式,可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息,又可以利用圖形傳遞信息.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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患心肺疾病

不患心肺疾病

合計(jì)

大于40歲

16

小于或等于40歲

12

合計(jì)

80

已知在全部的80人中隨機(jī)抽取1人,抽到不患心肺疾病的概率為
下面的臨界值表供參考:

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
(1)請(qǐng)將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為患心肺疾病與年齡有關(guān)?

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(Ⅱ)若“數(shù)列 , , , , ,的最大值;

(Ⅲ)設(shè)為給定的偶數(shù)對(duì)所有可能的數(shù)列 , , ,

,其中表示, , 個(gè)數(shù)中最大的數(shù)的最小值

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