Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x2-1

（a＞0）．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性并證明；
（3）若函數(shù)的定義域和值域同時為[-

1

2

，

1

2

]，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性并證明；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系建立條件關(guān)系即可．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則x²-1≠0，即x≠±1，
則f（-x）=

-ax

x2-1

=-f（x），
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴只要證明函數(shù)f（x）在[0，1）上的單調(diào)性即可；
設(shè)0≤x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

ax1

x12-1

-

ax2

x22-1

=

a(x2-x1)(x1x2+a)

(x12-1)(x22-1)

，
∵0≤x₁＜x₂＜1，a＞0
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂+a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
則函數(shù)f（x）在[0，1）上的單調(diào)遞減，
故f（x）在（-1，1）上的單調(diào)遞減．
（3）∵f（x）在（-1，1）上的單調(diào)遞減，
∴若函數(shù)的定義域和值域同時為[-

1

2

，

1

2

]，
則f（

1

2

）=-

1

2

，
即

1 2 a

1 4 -1

=-

1

2

，
解得a=

3

4

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷以及奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．