Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），設其導函數(shù)為f′（x），當x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），則滿足F（3）＞F（2x-1）的實數(shù)x的取值范圍是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，2）
• B、（-2，1）
• C、（-1，2）
• D、（-1，

  1

  2

  ）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)已知條件利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性構(gòu)造出新函數(shù)，利用xf′（x）+f（x）＜0，得到：[xf（x）]′＜0，進一步分析出偶函數(shù)的單調(diào)性在對稱區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反．故建立不等式組，解不等式組求的結(jié)果．

解答： 解：定義在R上的奇函數(shù)f（x），
所以：f（-x）=-f（x）
設f（x）的導函數(shù)為f′（x），
當x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）＜f（-x），
則：xf′（x）+f（x）＜0
即：[xf（x）]′＜0
所以：函數(shù)F（x）=xf（x）在（-∞，0）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
由于f（x）為奇函數(shù)，
令F（x）=xf（x），
則：F（x）為偶函數(shù)．
所以函數(shù)F（x）=xf（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
則：滿足F（3）＞F（2x-1）滿足的條件是：

2x-1＞0 3＞2x-1

解得：

1

2

＜x＜2
所以x的范圍是：（

1

2

，2）
故選：A

點評：本題考查的知識要點：函數(shù)的性質(zhì)的應用，單調(diào)性和奇偶性的應用，構(gòu)造性函數(shù)解不等式組．屬于基礎題型．