Question

【題目】設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）處的切線的斜率分別是kA ， kB ， 規(guī)定φ（A，B）= （|AB|為線段AB的長度）叫做曲線y=f（x）在點A與點B之間的“彎曲度”，給出以下命題： ①函數(shù)y=x3圖象上兩點A與B的橫坐標(biāo)分別為1和﹣1，則φ（A，B）=0；
②存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)；
③設(shè)點A，B是拋物線y=x2+1上不同的兩點，則φ（A，B）≤2；
④設(shè)曲線y=ex（e是自然對數(shù)的底數(shù)）上不同兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則φ（A，B）＜1．
其中真命題的序號為 ． （將所有真命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：對于①，由y=x3，得y′=3x2，

則kA=3，kB=3，則|kA﹣kB|=0，則φ（A，B）=0，故①正確；

對于②，如y=1時，y′=0，則φ（A，B）=0，故②正確；

對于③，拋物線y=x2+1的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，yA=xA2+1，yB=xB2+1，

yA﹣yB=xA2﹣xB2=（xA﹣xB）（xA+xB），

則φ（A，B）= = = ≤2，故③正確；

對于④，由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）= ，

由不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）＜ =1，

故④正確．

所以答案是：①②③④

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．