Question

已知函數(shù)f（x0=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

-

3

2

（1）將f（x）化為含Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的形式，寫(xiě)出f（x）的最小正周期及其對(duì)稱中心；
（2）如果三角形ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對(duì)角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f（3x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（

2x

3

+

π

3

）．即可求f（x）的最小正周期為T(mén)，F(xiàn)（X）的對(duì)稱中心；
（2）由b²=ac，可得cosx≥

1

2

，從而x∈（0，

π

3

），可求求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f（3x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

-

3

2

=

1

2

sin

2x

3

+

3

1+cos 2x 3

2

-

3

2

=sin

2x

3

cos

π

3

+cos

2x

3

sin

π

3

=sin（

2x

3

+

π

3

）．
∴f（x）的最小正周期為T(mén)=

2π

2 3

=3π
∴由

2x

3

+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：x=

3kπ

2

+

π

4

，k∈Z
∴f（x）的對(duì)稱中心為（

3kπ

2

+

π

4

，0），k∈Z
（2）∵b²=ac，
∴cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

又x∈（0，π），∴x∈（0，

π

3

）  
而f（3x）=sin（

2

3

×3x+

π

3

）=sin（2x+

π

3

），
∵x∈（0，

π

3

），
∴2x+

π

3

∈（

π

3

，π]
∴f（3x）=sin（2x+

π

3

）∈[0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．