Question

在△ABC中，∠A=60°，且∠A的平分線AD將BC分成兩段之比為BD：DC=2：1，又AD=4

3

．
（1）求三邊長；
（2）求∠C．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形

專題：解三角形

分析：（1）利用∠A的平分線AD將BC分成兩段之比為BD：DC=2：1，可得

BD

DC

=

AB

BC

=

2

1

，可設(shè)BD=2x，DC=x，AB=2y，AC=y．在△ABD與△ACD中，分別利用余弦定理解出即可．
（2）在△ABC中，利用余弦定理即可得出．

解答： 解：（1）∵∠A的平分線AD將BC分成兩段之比為BD：DC=2：1，
∴

AB

BC

=

2

1

，
可設(shè)BD=2x，DC=x，AB=2y，AC=y．
在△ABD與△ACD中，分別利用余弦定理可得：
BD²=AB²+AD²-2•AB•ADcos30°，DC²=AD²+AC²-2AD•AC•cos30°．
∴4x2=4y2+(4

3

)2-2×2y×4

3

×cos30°，x2=(4

3

)2+y2-2×4

3

ycos30°．
化為x²=y²+12-6y，x²=48+y²-12y，
解得y=6，x=2

3

．
∴三邊長分別為：BC=6

3

，AC=6，AB=12．
（2）在△ABC中，利用余弦定理可得：cosC=

BC2+AC2-AB2

2BC•AC

=

(6 3 )2+62-122

2×6 3 ×6

=0，
∵C∈（0°，180°）．
∴C=90°．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．