Question

【題目】已知橢圓（是大于的常數(shù)）的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)、與直線(xiàn)分別交于、兩點(diǎn)（設(shè)直線(xiàn)的斜率為正數(shù)）.

（Ⅰ）設(shè)直線(xiàn)、的斜率分別為， ，求證為定值.

（Ⅱ）求線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最小值.

（Ⅲ）判斷“”是“存在點(diǎn)，使得是等邊三角形”的什么條件？（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)既不充分也不必要條件．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可得直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，據(jù)此計(jì)算則有為定值．

(Ⅱ)結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求得MN的長(zhǎng)度表達(dá)式，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為．

(Ⅲ)結(jié)合圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)可知“”是“存在點(diǎn)，使得是等邊三角形”的既不充分也不必要條件．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)，則，即，

∴直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，

∴，

故為定值．

（Ⅱ）直線(xiàn)方程為，∴點(diǎn)坐標(biāo)，

直線(xiàn)方程為，∴點(diǎn)坐標(biāo)，

∴，

∴

．

故線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為．

（Ⅲ）“”是“存在點(diǎn)，使得是等邊三角形”的既不充分也不必要條件．