Question

17．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$，且b=-2x-y，當(dāng)b取得最大值時(shí)，直線2x+y+b=0被圓（x-1）²+（y-2）²=25截得的弦長(zhǎng)為（　　）

• A． 10
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{5}$
• D． 4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由約束條件作作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出b，然后利用直線與圓的位置關(guān)系求解弦長(zhǎng)即可．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$，作出可行域如圖，
由b=-2x-y，得y=-2x-b，
由圖可知，當(dāng)直線y=-2x-b過(guò)B（-2，-2）時(shí)直線在y軸上截距最小，b最大為2×2+2=6，
圓（x-1）²+（y-2）²=25的圓心（1，2），半徑為5，
圓心到直線2x+y+6=0的距離為：$\frac{|10|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
直線被圓（x-1）²+（y-2）²=25
截得的弦長(zhǎng)：2$\sqrt{25-（2\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．