Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線x=t（t＞0，且t≠1）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，0），直線QA與拋物線的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)M．
（1）求證：點(diǎn)M，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線；
（2）當(dāng)2≤t≤3時，求

|MA|

|MB|

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）首先設(shè)出直線QA的方程為：x=my-1聯(lián)立拋物線得：

x=my-1 y2=4x

得到直線BM的方程y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)進(jìn)一步求得F在直線上，以此三點(diǎn)共線．
（2）由（1）的結(jié)論分別求得

|MA

|和|

MB

|，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求得2≤t≤3時函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，最后確定

| MA |

| MB |

的取值范圍．

解答： （1）證明：已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線x=t（t＞0，且t≠1）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，0），直線QA與拋物線的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)M．
設(shè)：A（x₁，y₁） M（x₂，y₂） B（x₁，-y₁），則直線QA的方程為：x=my-1
與拋物線y²=4x聯(lián)立得到：

x=my-1 y2=4x

所以：y²-4my+4=0
y₁+y₂=4m   y₁•y₂=4
則直線BM的方程為：
y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)
即：y-y2=

4

y2-y1

(x-x2)
令y=0解得：x=

y1y2

4

=1
即：焦點(diǎn)F（1，0）
所以：點(diǎn)M，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線
（2）解：由（1）得：A（t，2

t

)B（t，-2

t

)Q（-1，0）
則利用A、M、Q三點(diǎn)共線求得：M(

1

t

，

2

t

)
|

MA

|=

(t- 1 t )2+(2 t - 2 t )2

|

MB

|=

(t- 1 t )2+(2 t + 2 t )2

| MA |

| MB |

=

(t+ 1 t )2+4(t+ 1 t )-12 (t+ 1 t )2+4(t+ 1 t )+4

設(shè)(t+

1

t

)2+4(t+

1

t

)=x則：

| MA |

| MB |

=

x-12 x+4

=

1- 16 x+4

利用導(dǎo)數(shù)得：2≤t≤3函數(shù)為增函數(shù)，

65

4

≤x≤

220

9

進(jìn)一步求得：

| MA |

| MB |

∈[

21

9

，

142

16

]
故答案為：（1）略
（2）

| MA |

| MB |

∈[

21

9

，

142

16

]

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系，三點(diǎn)共線的充要條件，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，及向量的模，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，利用單調(diào)性求

| MA |

| MB |

的值域