Question

在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ=cosθ+sinθ和直線l：ρsin（θ-

π

4

）=

2

2

．
（Ⅰ）求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ≤2π）．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）依據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，把圓O和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立方程組，求得它們的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再化為直角坐標(biāo)．

解答： 解（Ⅰ）圓O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ²=ρcosθ+ρsinθ，故圓O的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-x-y=0，
直線l：ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

，即ρsinθ-ρcosθ=1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為：x-y+1=0．
（Ⅱ）由（1）知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程分別為x²+y²-x-y=0和 x-y+1=0，
將兩方程聯(lián)立得

x2+y2-x-y=0 x-y+1=0

解得

x=0 y=1

，即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為（0，1），
將（0，1）轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為(1，

π

2

)，即為所求．

點(diǎn)評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，求兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，把把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．