如圖，三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，D是AB中點(diǎn)，AA1=AC=BC=
5
6
AB=5．
（1）證明：BC1∥平面A1CD；
（2）在線段BC1上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M-A1D-C的余弦值為
38
19
，若存在，求出BM的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定
專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）連接AC1交A1C于點(diǎn)E，則點(diǎn)E是AC1的中點(diǎn)，連接DE，又D是AB中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理可得：DE∥BC1．再利用線面平行的判定定理即可得出．
（2）取A1B1的中點(diǎn)F，可得DF⊥平面ABC，由于AA1=AC=BC=
5
6
AB=5，可得CD⊥AB，AB=6．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．假設(shè)在線段BC1上存在一點(diǎn)M，使得二面角M-A1D-C的余弦值為
38
19
．設(shè)
BM
=λ
BC1
，（0≤λ≤1）．可得
DM
=
DB
+λ
BC1
=（3-3λ，4λ，5λ）．利用平面的法向量的夾角即可得出．
解答： （1）證明：連接AC1交A1C于點(diǎn)E，
則點(diǎn)E是AC1的中點(diǎn)，連接DE，
∵D是AB中點(diǎn)，∴DE∥BC1．
∵DE?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD；
（2）解：取A1B1的中點(diǎn)F，
則DF⊥平面ABC，
∴DF⊥AB，DF⊥DC．
∵AA1=AC=BC=
5
6
AB=5，
∴CD⊥AB，AB=6．
∴B（3，0，0），C（0，4，0），A1（-3，0，5），C1（0，4，5）．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
假設(shè)在線段BC1上存在一點(diǎn)M，使得二面角M-A1D-C的余弦值為
38
19
．
設(shè)
BM
=λ
BC1
，（0≤λ≤1）．
∴
DM
=
DB
+λ
BC1
=（3，0，0）+λ（-3，4，5）=（3-3λ，4λ，5λ）．
設(shè)平面DMA1的法向量
m
=（x1，y1，z1）．
則
m
•
DA1
=-3x1+5z1=0
m
•
DM
=(3-3λ)x1+4λy1+5λz1=0
，
令x1=5，則z1=3，y1=-
15
4λ
．
∴
m
=(5，-
15
4λ
，3)．
設(shè)平面CDA1的法向量
n
=（x2，y2，z2）．
則
n
•
DC
=4y2=0
n
•
DA1
=-3x2+5z2=0
，令x2=5，解得y2=0，z2=3．
∴
n
=（5，0，3）．
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
||
n
|
=
34
34
•
34+(-
15
4λ
)2
=
38
19
．
解得λ=
15
68
．
因此在線段BC1上存在一點(diǎn)M(
159
68
，
30
34
，
75
68
)，使得二面角M-A1D-C的余弦值為
38
19
，
|
BM
|=
15
68
×|
BC1
|=
15
68
×
(-3)2+42+52
=
75
2
68
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直三棱柱的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理，考查了通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量的夾角求二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在集合{1，2，3，4，5，6}中任取一個(gè)偶數(shù)a和一個(gè)奇數(shù)b構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量
a
=（a，b），從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個(gè)數(shù)為t，在區(qū)間[1，
t
5
]和[2，4]分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n，則方程
x 2
m 2
+
y 2
n 2
=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是（　　）
A、
1
3
B、
1
2
C、
2
3
D、
3
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

每年春季在鄭州舉行的“中國(guó)鄭開(kāi)國(guó)際馬拉松賽”活動(dòng)，已成為最有影響力的全民健身活動(dòng)之一，每年的參與人數(shù)不斷增多，然后也有部分人對(duì)該活動(dòng)的實(shí)際效果提出了疑問(wèn)，對(duì)此，某新聞媒體進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，在所有參與調(diào)查的人中，持“支持”、“保留意見(jiàn)”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：
支持保留意見(jiàn)不支持
男800450200
女100150300
（Ⅰ）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個(gè)人，已知從持“支持”態(tài)度的人中抽取了45人，求n的值；
（Ⅱ）接受調(diào)查的人同時(shí)要對(duì)這項(xiàng)活動(dòng)進(jìn)行打分，其中6人打出的分?jǐn)?shù)如下：9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把這6個(gè)人打出的分?jǐn)?shù)看作一個(gè)總體，從中任取2個(gè)數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過(guò)0.6的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

記函數(shù)f（x）=lg（x2-x-2）的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)g（x）=
3-|x|
的定義域?yàn)榧螧．
（1）求①A∩B；②（∁RA）∪B；
（2）若C={x|（x-m+1）（x-2m-1）＜0}，C⊆B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知函數(shù)f（x）=lnx-
a
x
．若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為
3
2
，求實(shí)數(shù)a的值．
（2）求證：當(dāng)1＜x＜2時(shí)，不等式
1
lnx
-
1
x-1
＜
1
2
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2，an=
1
2
an+1-2n（n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{
an
2n
}是等差數(shù)列；     
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹(shù)的棵數(shù)；乙組有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，用X表示．
（Ⅰ）若x=8，求乙組同學(xué)植樹(shù)的棵數(shù)的平均數(shù)；
（Ⅱ）若x=9，分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)錄取一名學(xué)生，求這兩名學(xué)生植樹(shù)總棵數(shù)為19的概率；
（Ⅲ）甲組中有兩名同學(xué)約定一同去植樹(shù)，且在車(chē)站彼此等候10分鐘，超過(guò)10分鐘，則各自到植樹(shù)地點(diǎn)再會(huì)面．一個(gè)同學(xué)在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間到達(dá)車(chē)站，另一個(gè)同學(xué)在7點(diǎn)半與8點(diǎn)之間到達(dá)車(chē)站，求他們?cè)谲?chē)站會(huì)面的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ=cosθ+sinθ和直線l：ρsin（θ-
π
4
）=
2
2
．
（Ⅰ）求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ≤2π）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

正△ABC的邊長(zhǎng)為2，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC的中點(diǎn)（如圖（1））．現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖（2）．在圖（2）中：
（Ⅰ）求證：AB∥平面DEF
（Ⅱ）求多面體D-ABFE的體積．

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同步練習(xí)冊(cè)答案