Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=

4Sn

n+3

•2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0，從而得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由S_n=

n(n+3)

4

，知b_n=

4Sn

n+3

•2ⁿ=n•2ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由2Sn=2an2+an-1①
得2Sn+1=2an+12+an+1-1②
②-①，得2an+1=2(an+12-an2)+(an+1-an)，
即：2（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）-（a_n+1+a_n）=0，
∴（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，∴2a_n+1-2a_n=1，即 an+1-an=

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是 an=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

．…（6分）
（2）S_n=n+

n(n-1)

2

×

1

2

=

n(n+3)

4

，
∴b_n=

4Sn

n+3

•2ⁿ=n•2ⁿ，…（8分）
∴Tn=1×2+2×22+…+n•2n，①
2T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1=-(n-1)•2n+1-2，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．