數(shù)列{an}中,a1=2,an=an-1+2n(n≥2)
(1)求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an
(2)若{
1
an
}的前n項(xiàng)和為Sn,求出Sn并證明
1
2
≤Sn<1.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由an=an-1+2n,得an-1=an-2+2(n-1),…,a2=a1+2•2,利用疊加法能求出an=n(n+1).
(2)由
1
an
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,利用裂項(xiàng)求和法求出Sn=1-
1
n+1
.由此能證明
1
2
Sn<1
解答: 解:(1)∵an=an-1+2n,
∴an-1=an-2+2(n-1),…,a2=a1+2•2
將這n-1個(gè)式子相加得:an=n(n+1)…(4分)
(2)∵
1
an
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
…(6分)
Sn=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
,
Sn=1-
1
n+1
.…(8分)
∵n+1≥2,∴0<
1
n+1
1
2
,
1
2
Sn<1
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意疊加法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知四邊形ABCD是矩形,AB=1,BC=
3
,將△ABC沿著對(duì)角線AC折起來得到△AB1C且頂點(diǎn)B1在平面ACD上射影O恰落在邊AD上,如圖所示.
(1)求證:平面AB1C⊥平面B1CD;             
(2)求三棱錐B1-ABC的體積VB1-ABC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意n∈N*,有2Sn=2an2+an-1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記bn=
4Sn
n+3
•2n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx(a>0)
(1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間
(2)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且an=2
Sn
-1,n∈N*,數(shù)列b1,b2-b1,b3-b2,…,bn-bn-1(n≥2)是首項(xiàng)和公比均為
1
2
的等比數(shù)列.
(1)求證數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列;
(2)若cn=anbn,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線x=-1的距離相等.
(1)求曲線C的方程; 
(2)是否存在正數(shù)m,使得過點(diǎn)M(m,0)且斜率k=1的直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,且滿足
FA
FB
<0?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=ax3+bx,且f(1)=3,f(2)=12,
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求f(0),f(3)的值;
(3)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線E:x2=4y.
(1)若直線y=x+1與拋物線E相交于P,Q兩點(diǎn),求|PQ|弦長;
(2)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線E上運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn),BC邊過定點(diǎn)N(0,2),點(diǎn)M在BC上且
AM
BC
=0,求點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-4,若x=-
1
3
與x=-1是f(x)的極值點(diǎn).
(1)求a、b及函數(shù)f(x)的極值;
(2)設(shè)g(x)=kx2+x-8(k∈R),試討論函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[0,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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