Question

18．某校高一年級學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測試成績，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績的折線圖（如圖）．
（1）體育成績大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”，已知該校高一年級有1000名學(xué)生，試估計(jì)高一全校中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；
（2）為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況，現(xiàn)從體積成績在[60，70）和[80，90）的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績在[60，70）的概率；
（3）假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且分別在[70，80），[80，90），[90，100]三組中，其中a，b，c∈N，當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s²最小時(shí)，寫出a，b，c的值．（結(jié)論不要求證明）
（注：s²=$\frac{1}{n}$[（x${\;}_{1}+\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x${\;}_{n}-\overline{x}$）²]，其中$\overline{x}$為數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x_n的平均數(shù)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折線圖，知樣本中體育成績大于或等于70分的學(xué)生有30人，由此能求出該校高一年級學(xué)生中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)．
（Ⅱ）從這兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，求出所有的可能結(jié)果，在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績在[60，70）內(nèi)的對立事件是兩人的體育成績都在[80，90）內(nèi)，由此能求出至少有1人體育成績在[60，70）的概率．
（Ⅲ）由已知能寫出當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s²最小時(shí)，a，b，c的值．

解答 解：（Ⅰ）由折線圖，知樣本中體育成績大于或等于70分的學(xué)生有30人，
∴該校高一年級學(xué)生中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有1000×$\frac{30}{40}$=750人．
（Ⅱ）設(shè)“至少有1人的體育成績在[60，70）”為事件M，
記體育成績在[60，70）的數(shù)據(jù)為A₁，A₂，體育成績在[80，90）的數(shù)據(jù)為B₁，B₂，B₃，
從這兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，所有的可能結(jié)果有：${C}_{5}^{2}=10$種，
事件M的對立事件是兩人的體育成績都在[80，90）內(nèi)，
∴至少有1人體育成績在[60，70）的概率P（M）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$．
（Ⅲ）∵甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且分別在[70，80），[80，90），[90，100]三組中，其中a，b，c∈N，
當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s²最小時(shí)，a，b，c的值分別為70，80，100．

點(diǎn)評 本題考查折線圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．