【題目】如圖,DE∥BC,BC=2DE,CA⊥CB,CA⊥CD,CB⊥CD,F(xiàn)、G分別是AC、BC中點.
(1)求證:平面DFG∥平面ABE;
(2)若AC=2BC=2CD=4,求二面角E﹣AB﹣C的正切值.
【答案】
(1)證明:∵F、G分別是AC、BC中點.
∴FG∥AB,
∵FG平面ABE,AB平面ABE,
∴FG∥平面ABE,
∵DE∥BC,BC=2DE,G是BC中點,
∴DE BG,∴四邊形DEBG是平行四邊形,
∴DG∥BE,
∵DG平面ABE,BE平面ABE,
∴DG∥平面ABE,
∵DG∩FG=G,DG,F(xiàn)G平面DFG,
AB∩BE=B,AB,BE平面ABE,
∴平面DFG∥平面ABE
(2)解:∵DE∥BC,BC=2DE,CA⊥CB,CA⊥CD,CB⊥CD,F(xiàn)、G分別是AC、BC中點.
∴以C為原點,CA為x軸,以CB為y軸,以CD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AC=2BC=2CD=4,
∴A(4,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(0,1,2),
=(﹣4,1,2), =(﹣4,2,0), =(﹣4,0,2),
設(shè)平面ABE的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=1,得 =(1,0,2),
平面ABC的法向量 =(0,0,1),
則cos< >= .
∴二面角E﹣AB﹣C的余弦值為cosα= ,
則sinα= ,tanα= = .
∴二面角E﹣AB﹣C的正切值為 .
【解析】(1)推導(dǎo)出FG∥AB,從而FG∥平面ABE,從而出四邊形DEBG是平行四邊形,從而DG∥BE,進而DG∥平面ABE,由此能證明平面DFG∥平面ABE.(2)以C為原點,CA為x軸,以CB為y軸,以CD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣C的正切值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某汽車配件廠生產(chǎn)A、B兩種型號的產(chǎn)品,A型產(chǎn)品的一等品率為 ,二等品率為 ;B型產(chǎn)品的一等品率為 ,二等品率為 .生產(chǎn)1件A型產(chǎn)品,若是一等品則獲得4萬元利潤,若是二等品則虧損1萬元;生產(chǎn)1件B型產(chǎn)品,若是一等品則獲得6萬元利潤,若是二等品則虧損2萬元.設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨立.
(1)求生產(chǎn)4件A型產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率;
(2)記X(單位:萬元)為生產(chǎn)1件A型產(chǎn)品和1件B型產(chǎn)品可獲得的利潤,求X的分布列及期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的頂點B(﹣1,﹣3),邊AB上的高CE所在直線的方程為4x+3y﹣7=0,BC邊上中線AD所在的直線方程為x﹣3y﹣3=0.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料,嘗試類比探究函數(shù)y=x2﹣ 的圖象,寫出圖象特征,并根據(jù)你得到的結(jié)論,嘗試猜測作出函數(shù)對應(yīng)的圖象. 閱讀材料:
我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說:數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休.
在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中,常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì),也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征.我們來看一個應(yīng)用函數(shù)的特征研究對應(yīng)圖象形狀的例子.
對于函數(shù)y= ,我們可以通過表達式來研究它的圖象和性質(zhì),如:
(1)在函數(shù)y= 中,由x≠0,可以推測出,對應(yīng)的圖象不經(jīng)過y軸,即圖象與y軸不相交;由y≠0,可以推測出,對應(yīng)的圖象不經(jīng)過x軸,即圖象與x軸不相交.
(2)在函數(shù)y= 中,當(dāng)x>0時y>0;當(dāng)x<0時y<0,可以推測出,對應(yīng)的圖象只能在第一、三象限;
(3)在函數(shù)y= 中,若x∈(0,+∞)則y>0,且當(dāng)x逐漸增大時y逐漸減小,可以推測出,對應(yīng)的圖象越向右越靠近x軸;若x∈(﹣∞,0),則y<0,且當(dāng)x逐漸減小時y逐漸增大,可以推測出,對應(yīng)的圖象越向左越靠近x軸;
(4)由函數(shù)y= 可知f(﹣x)=﹣f(x),即y= 是奇函數(shù),可以推測出,對應(yīng)的圖象關(guān)于原點對稱. 結(jié)合以上性質(zhì),逐步才想出函數(shù)y= 對應(yīng)的圖象,如圖所示,在這樣的研究中,我們既用到了從特殊到一般的思想,由用到了分類討論的思想,既進行了靜態(tài)(特殊點)的研究,又進行了動態(tài)(趨勢性)的思考.讓我們享受數(shù)學(xué)研究的過程,傳播研究數(shù)學(xué)的成果.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E: 過點 ,離心率為 ,點F1 , F2分別為其左、右焦點.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點P,Q,且 ?若存在,求出該圓的方程,并求|PQ|的最大值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形,則原平面圖形的面積為( )
A. a2
B.a2
C.2 a2
D.2a2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓和雙曲線焦點F1 , F2相同,且離心率互為倒數(shù),P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點,當(dāng)∠F1PF2=60°時,橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)y=e(a﹣1)x+4x(x∈R)有大于零的極值點,則實數(shù)a范圍是( )
A.a>﹣3
B.a<﹣3
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(2)=0, <0(x>0),則不等式xf(x)<0的解集 .
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