Question

11．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+21nx．
（1）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若對任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[2，4]，恒有（m+2）a一2ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導令f′（x）＜0，對a進行討論得出f′（x）＜0的解集即可得出f（x）的減區(qū)間；
（2）求出f（x）在[2，4]上的最值，得出（m+2）a一2ln2＞f（2）-f（4），再分離參數得出m＜$\frac{2}{a}-4$，從而得出m的最大值．

解答 解：（1）f′（x）=ax-2a-1+$\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$（x＞0）．
令f′（x）＜0得ax²-（2a+1）x+2＜0．
①若a=0，則2-x＜0，解得x＞2．
②若a≠0，△=（2a+1）²-8a=（2a-1）²．
令ax²-（2a+1）x+2=0解得x₁=2，x₂=$\frac{1}{a}$．
當$\frac{1}{a}$＞2即0$＜a＜\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0的解集為（2，$\frac{1}{a}$），
當$\frac{1}{a}$＜0即a＜0時，f′（x）＜0的解集為（2，+∞），
當0$＜\frac{1}{a}＜2$時，即a$＞\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0的解集為（$\frac{1}{a}$，2），
當$\frac{1}{a}=2$即a=$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0無解．
綜上，當a≤0時，f（x）的遞減區(qū)間為（2，+∞），
當0$＜a＜\frac{1}{2}$時，f（x）的遞減區(qū)間為（2，$\frac{1}{a}$），
當a=$\frac{1}{2}$時，f（x）沒有遞減區(qū)間，
當a$＞\frac{1}{2}$時，f（x）的遞減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，2）．
（2）由（1）可知當a∈（-3，-2）時，f（x）在[2，4]上單調遞減．
∴當x₁，x₂∈[2，4]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤f（2）-f（4）=2-2a-2ln2．
∴（m+2）a一2ln2＞2-2a-2ln2，
∵a∈（-3，-2），∴m＜$\frac{2}{a}$-4．
∵-5＜$\frac{2}{a}-4$＜-$\frac{14}{3}$．
∴m≤-5．

點評 本題考查了導數與函數單調性的關系，分類討論思想，函數恒成立問題，屬于中檔題．