Question

設函數(shù)f（x）=xe^kx（k≠0）和函數(shù)g（x）=x³+ax-b．
（Ⅰ）曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與曲線y=g（x）相切于點（1，g（1）），求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出切線斜率為f′（0）=1，從而求出切線方程為：y=x，由題意得方程組，解出a，b的值即可；
（Ⅱ）先去導函數(shù)，再分別討論①k＞0時，②k＜0時的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）由函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]單調(diào)遞增，得出

h(-1)=-k+1≥0 h(1)=-k+1≥0

，解出k的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（0）=0，∴切點為（0，0），
∵f′（x）=e^kx（kx+1），∴切線斜率為f′（0）=1，
故曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為：y=x，
又∵y=x與曲線g（x）相切于點（1，g（1）），
∴

g′(1)=3+a=1 g(1)=1+a-b=1

，解得：

a=-2 b=-2

．
（Ⅱ）由f′（x）＞0，得kx+1＞0，kx＞-1，
①k＞0時，x＞-

1

k

時，函數(shù)遞增，k＜0時，x＜-

1

k

時遞增；
由f′（x）＜0，得kx+1＜0，kx＜-1，
②k＞0時，x＜-

1

k

時，函數(shù)遞減，k＜0時，x＜-

1

k

時遞減；
綜上：k＞0時，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-

1

k

，+∞），減區(qū)間為（-∞，-

1

k

），
k＜0時，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-

1

k

），減區(qū)間為（-

1

k

，+∞）；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]單調(diào)遞增?x∈[-1，1]時，f′（x）=e^kx（kx+1）≥0恒成立，
?x∈[-1，1]時，h（x）=kx+1≥0恒成立?

h(-1)=-k+1≥0 h(1)=-k+1≥0

?-1≤k≤1，
而當k=1或k=-1時，f（x）均不是常函數(shù)，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]內(nèi)單調(diào)遞增，k的范圍是[-1，1]．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，考查曲線的切線方程，考查分類討論思想，是一道中檔題．