Question

5．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，（n+2）a_n+1²-（n+1）a_n²+a_na_n+1=0，則a_n=$\frac{2}{n+1}$．

Answer 1

分析 把數(shù)列遞推式變形，可得（n+2）•$（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}+\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n+1$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n+2}$．然后利用累積法得答案．

解答 解：由（n+2）a_n+1²-（n+1）a_n²+a_na_n+1=0，得
（n+2）•$（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}+\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n+1$，即
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n+2}$．
∴${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}•…•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=$\frac{n}{n+1}•\frac{n-1}{n}•…•\frac{2}{3}•1=\frac{2}{n+1}$．
故答案為：$\frac{2}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．