Question

15．下列四個(gè)命題：
①若0＞a＞b，則$\frac{1}{a}＜\frac{1}$；②x＞0，$x+\frac{1}{x-1}$的最小值為3；
③橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$比橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$更接近于圓；
④設(shè)A，B為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，若有|PA|+|PB|=2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；
其中真命題的序號(hào)為①③．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 由不等式的性質(zhì)說明①是真命題；舉例說明②是假命題；求出兩橢圓的離心率說明③是真命題；利用橢圓定義知a，c的關(guān)系說明④是假命題．

解答 解：①若0＞a＞b，則ab＞0，$\frac{1}{ab}＞0$，∴$\frac{a}{ab}＞\frac{ab}$，即$\frac{1}{a}＜\frac{1}$．故①是真命題；
②取x=$\frac{1}{2}$，滿足x＞0，此時(shí)$x+\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}-1}=-\frac{3}{2}$．故②是假命題；
③橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$比橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$更接近于圓．故③是真命題；
④當(dāng)|AB|≥2時(shí)，雖有|PA|+|PB|=2為定值，但動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是橢圓．故④是假命題．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了不等式的性質(zhì)，考查函數(shù)值域的求法，考查橢圓的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．