Question

15．下列四個命題：
①若0＞a＞b，則$\frac{1}{a}＜\frac{1}$；②x＞0，$x+\frac{1}{x-1}$的最小值為3；
③橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$比橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$更接近于圓；
④設A，B為平面內兩個定點，若有|PA|+|PB|=2，則動點P的軌跡是橢圓；
其中真命題的序號為①③．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 由不等式的性質說明①是真命題；舉例說明②是假命題；求出兩橢圓的離心率說明③是真命題；利用橢圓定義知a，c的關系說明④是假命題．

解答 解：①若0＞a＞b，則ab＞0，$\frac{1}{ab}＞0$，∴$\frac{a}{ab}＞\frac{ab}$，即$\frac{1}{a}＜\frac{1}$．故①是真命題；
②取x=$\frac{1}{2}$，滿足x＞0，此時$x+\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}-1}=-\frac{3}{2}$．故②是假命題；
③橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$比橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$更接近于圓．故③是真命題；
④當|AB|≥2時，雖有|PA|+|PB|=2為定值，但動點P的軌跡不是橢圓．故④是假命題．
故答案為：①③．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了不等式的性質，考查函數(shù)值域的求法，考查橢圓的定義及簡單性質，是基礎題．