Question

9．定義等積數(shù)列{a_n}：若a_na_n-1=p（p為非零常數(shù)，n≥2），則稱{a_n}為等積數(shù)列，p稱為公積．若{a_n}為等積數(shù)列，公積為1，首項(xiàng)為a，前n項(xiàng)和為S_n，則a₂₀₁₅=a，S₂₀₁₅=1008a+$\frac{1007}{a}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意列出a_na_n+1=1（n∈N⁺），求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再求該數(shù)列的前2015項(xiàng)和．

解答 解：由題意得：a_na_n+1=1（n∈N⁺），且a₁=a，
∴a₂=$\frac{1}{a}$，a₃=a，a₄=$\frac{1}{a}$，a₅=a，a₆=$\frac{1}{a}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{a}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴a₂₀₁₅=a，
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)是1008，偶數(shù)項(xiàng)數(shù)是1007，
則數(shù)列的前2015項(xiàng)和S₂₀₁₅=1008a+$\frac{1007}{a}$．
故答案為：a，1008a+$\frac{1007}{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，考查分類討論的思想，觀察數(shù)列的規(guī)律、總結(jié)出項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．